Astuces de calcul mental : les raccourcis qui se démontrent

Devant une note de restaurant à partager ou une remise de 15 %, le réflexe est de sortir son téléphone pour un calcul qui prendrait cinq secondes de tête. Les raccourcis existent, ils ne demandent aucun don particulier, et chacun repose sur une propriété des nombres que vous pouvez vérifier vous-même. En voici une poignée, avec ce qui les fait marcher et le moment où ils cessent de s’appliquer.

Commencez par la gauche, pas par la droite

L’opération posée en colonnes va de droite à gauche, parce que les retenues circulent dans ce sens. De tête, c’est l’inverse qui est efficace : on attaque par les plus grosses tranches, et l’ordre de grandeur est acquis dès le premier geste. Pour 47 + 38, dites 40 et 30 font 70, puis 7 et 8 font 15, donc 85. Pour 6 × 240, 6 × 200 font 1 200, puis 6 × 40 font 240, donc 1 440. Si l’on vous interrompt au milieu, vous savez déjà que la réponse tourne autour de 1 400.

Ce n’est pas une astuce de magazine. En février 1892, l’Académie des sciences a formé une commission pour examiner le calculateur Jacques Inaudi : le mathématicien Gaston Darboux sur les procédés, le neurologue Jean-Martin Charcot sur la mémoire. Alfred Binet, qui l’a étudié à la Salpêtrière et raconte ces séances dans la Revue des Deux Mondes, décrit un homme qui entendait les nombres au lieu de les voir — il répétait vingt-quatre chiffres après une seule audition — et commençait toujours par les chiffres de plus forte valeur.

Passez par les nombres ronds, puis corrigez

C’est le principe le plus rentable de tous : remplacer un nombre encombrant par un nombre rond, et rattraper l’écart ensuite. La ressource Éduscol Le calcul aux cycles 2 et 3, publiée par le ministère de l’Éducation nationale, en donne les exemples canoniques : 254 + 9 se traite en 254 + 10 − 1, et 58 + 17 en 58 + 20 − 3, soit 75.

La même compensation sert ailleurs. Multiplier par 9, c’est multiplier par 10 et retirer une fois le nombre : 37 × 9 donne 370 − 37, soit 333. Multiplier par 5, c’est prendre la moitié et ajouter un zéro : 86 × 5 devient 43 × 10, soit 430. Multiplier par 25, c’est prendre le quart et ajouter deux zéros : 36 × 25 donne 9 × 100. Quant aux 15 % d’une remise, ce sont 10 % plus la moitié de 10 % : sur 80 euros, 8 plus 4, soit 12.

Tout cela suppose une numération de position, où déplacer un chiffre d’un rang le multiplie par dix. Essayez la même compensation avec les chiffres romains, qui juxtaposent des valeurs au lieu de les positionner : vous comprendrez pourquoi les Romains calculaient sur abaque.

Trois identités qui tiennent en une ligne

Le carré d’un nombre à deux chiffres finissant par 5 s’obtient sans effort : multipliez le chiffre des dizaines par son successeur, et collez 25 derrière. 35 au carré donne 3 × 4 = 12, donc 1 225 ; 65 au carré, 6 × 7 = 42, donc 4 225. La raison tient à un développement : (10a + 5)² vaut 100 × a × (a + 1) + 25.

Deuxième identité, plus utile encore : deux nombres symétriques autour d’un nombre rond. 48 × 52 vaut 50² − 2², soit 2 496 ; 97 × 103 vaut 10 000 − 9 = 9 991. C’est l’algèbre des carrés qui sert aussi à manipuler le théorème de Pythagore. Troisième, la multiplication par 11 d’un nombre à deux chiffres : écartez les deux chiffres, glissez leur somme au milieu. 43 × 11 donne 4, puis 7, puis 3 : 473. Si la somme dépasse 9, elle se reporte : 76 × 11 donne 7, 13, 6, c’est-à-dire 836. Au-delà de deux chiffres, la recette change de forme — le genre de limite à connaître avant d’appliquer une astuce en public.

Vérifiez sans refaire le calcul

Un résultat de tête se contrôle d’abord par son ordre de grandeur. Avec la vitesse de la lumière arrondie à 300 000 kilomètres par seconde et une Lune à près de 384 000 kilomètres, son éclat nous parvient en un peu plus d’une seconde, sans dérouler aucune division. Le même réflexe vaut pour les cercles, où arrondir le nombre pi à 3 donne une estimation fausse de moins de 5 %.

Viennent ensuite les critères de divisibilité, que le magazine Tangente rappelle sur un seul exemple : pour 4 752, la somme des chiffres vaut 18, donc le nombre est divisible par 3 et par 9 ; la somme alternée 4 − 7 + 5 − 2 vaut 0, donc il l’est aussi par 11. Ces règles viennent des restes des puissances de 10 : modulo 9, chacune a le même reste que 1 ; modulo 11, les restes alternent entre 1 et −1.

De là vient la preuve par neuf, décrite par le dictionnaire de mathématiques Bibmath : pour tester 263 × 461 = 121 243, remplacez chaque nombre par le reste de la somme de ses chiffres modulo 9. On obtient 2 et 2, dont le produit vaut 4 ; et 1 + 2 + 1 + 2 + 4 + 3 = 13, soit 4 également. Les restes concordent. Mais attention au sens de la conclusion : une discordance signe une erreur certaine, une concordance ne garantit rien. Permutez deux chiffres du résultat, la preuve par neuf passera sans broncher.

L’erreur à éviter n’est donc pas de se tromper, c’est d’appliquer un raccourci sans savoir d’où il vient : choisissez-en deux ou trois, retrouvez leur justification sur un coin de papier, et laissez le téléphone dans la poche la prochaine fois qu’il faudra partager une note à cinq.