Le nombre pi : ce qu'il est, à quoi il sert, pourquoi il est infini

Tout le monde a appris « 3,14 » au collège, et quelques passionnés en récitent des milliers de décimales. Mais pourquoi ce nombre-là, et pas un autre ? Pourquoi ses chiffres ne s’arrêtent-ils jamais, et à quoi bon en calculer des centaines de milliers de milliards quand trois suffisent pour poser une bordure autour d’une table ronde ? Pi est à la fois le nombre le plus familier des mathématiques et l’un des plus mystérieux. Voici ce qu’il faut en savoir, sans formule compliquée.

Un rapport qui ne change jamais

Prenez n’importe quel objet circulaire : une assiette, une roue de vélo, une pièce de monnaie. Mesurez son tour avec un mètre ruban souple, puis son diamètre, et divisez le premier par le second. Vous trouverez toujours un peu plus de 3. C’est pi, noté π : le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. La découverte essentielle, très ancienne, est que ce rapport est le même pour tous les cercles, du plus petit au plus grand. Un cercle deux fois plus large a un tour exactement deux fois plus long.

De ce rapport découlent les deux formules que chacun a croisées : le périmètre d’un cercle vaut 2 × π × rayon, et son aire vaut π × rayon × rayon. Elles s’appliquent aussi bien à une pizza qu’à une planète. Pour mesurer la Terre, Ératosthène n’avait besoin que de la longueur d’un arc et de son angle ; connaître pi permet ensuite de passer du tour de la planète à son rayon, dans l’histoire de ceux qui ont découvert que la Terre est ronde et mesuré sa taille.

Même calcul à plus grande échelle : la Lune tourne autour de nous à une distance moyenne d’environ 384 400 kilomètres. Si son orbite était un cercle parfait, elle parcourrait donc à chaque tour à peu près 2 × π × 384 400, soit environ 2,4 millions de kilomètres, en un peu plus de 27 jours. Ce voyage régulier est aussi celui qui fait défiler les phases de la Lune.

Deux mille ans de chasse aux décimales

Les scribes de Babylone et d’Égypte utilisaient déjà des valeurs approchées, un peu au-dessus de 3, suffisantes pour leurs constructions. Le premier à encadrer pi par une méthode rigoureuse est Archimède, au IIIe siècle avant notre ère. Son idée : enfermer le cercle entre deux polygones, l’un inscrit à l’intérieur, l’autre tracé à l’extérieur. Le tour du cercle est forcément compris entre leurs deux périmètres, que l’on sait calculer. En poussant jusqu’à des polygones à 96 côtés, il établit que pi est compris entre 3 + 10/71 et 3 + 1/7, soit entre 3,1408 et 3,1429 environ. La fraction 22/7, que l’on utilise encore pour les calculs rapides, vient de là.

Pendant des siècles, on a amélioré la méthode avec des polygones toujours plus nombreux, au prix de calculs épuisants. Puis, à partir du XVIIe siècle, les mathématiciens découvrent des formules en somme infinie, qui convergent vers pi terme après terme. Les ordinateurs ont pris le relais au XXe siècle, et la course n’a jamais cessé. Le record homologué par le Guinness World Records à la date où nous écrivons est de 314 000 milliards de décimales, obtenu le 18 novembre 2025 par la société américaine StorageReview et le fabricant Micron, au terme de 110 jours de calcul. Ces records ne servent guère à connaître pi : ils servent à éprouver des machines, des algorithmes et des systèmes de stockage.

Pourquoi ses décimales ne s’arrêtent jamais

Un nombre comme 1/4 s’écrit 0,25 et s’arrête. Un nombre comme 1/3 s’écrit 0,333… et ne s’arrête pas, mais il se répète. Pi ne fait ni l’un ni l’autre : ses décimales se poursuivent à l’infini sans jamais entrer dans un motif qui se répète. On dit qu’il est irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut s’écrire comme une fraction de deux nombres entiers. Le mathématicien Jean-Henri Lambert l’a démontré dans les années 1760. La fraction 22/7 n’est donc qu’une approximation, excellente mais fausse dès la troisième décimale.

En 1882, Ferdinand von Lindemann va plus loin : pi est transcendant, il n’est la solution d’aucune équation algébrique à coefficients entiers. Ce résultat a une conséquence spectaculaire. Il clôt un problème posé depuis l’Antiquité, la « quadrature du cercle » : construire, avec une règle et un compas, un carré de même aire qu’un cercle donné. Lindemann prouve que c’est impossible. D’où l’expression, restée dans la langue courante, pour désigner une tâche insoluble.

Reste une question ouverte, qui fascine : chaque chiffre de 0 à 9 apparaît-il aussi souvent que les autres dans le développement de pi, et chaque suite de chiffres finit-elle par y apparaître ? Les calculs le suggèrent fortement, mais personne ne l’a démontré. Méfiez-vous donc de l’idée, souvent répétée, que « votre date de naissance figure forcément dans pi » : c’est très probable pour une suite courte, et d’ailleurs facile à vérifier, mais ce n’est pas un théorème.

Combien de décimales faut-il vraiment ?

Très peu. Les ingénieurs du Jet Propulsion Laboratory de la NASA, qui guident les sondes à travers le Système solaire, ont expliqué dans un article devenu classique qu’ils utilisent pi avec 15 décimales : 3,141592653589793. Avec cette valeur, le tour d’un cercle d’environ 64 milliards de kilomètres de diamètre, plus grand que la distance qui nous sépare de la sonde Voyager 1, n’est faux que d’environ 1,5 centimètre. Pour calculer la circonférence de l’Univers observable à la précision d’un atome d’hydrogène, 37 décimales suffiraient.

Pi ne se cantonne pas pour autant aux cercles. Il surgit partout où il y a des rotations, des oscillations et des ondes : dans le mouvement d’un pendule, dans les calculs de probabilités, dans la description du son et de la lumière. On le retrouve même dans la formule de Lord Rayleigh qui explique pourquoi le ciel est bleu, parce que les ondes, comme les cercles, se décrivent avec des fonctions qui reviennent sur elles-mêmes à intervalles réguliers.

Pour le toucher du doigt, refaites l’expérience du début avec trois objets ronds de tailles différentes et un fil bien tendu. Vous obtiendrez 3,1 et quelque chose, jamais exactement la même valeur, parce qu’aucune mesure physique n’est parfaite. C’est la meilleure leçon que pi puisse donner : le monde réel se mesure à quelques chiffres près, et c’est le raisonnement mathématique qui, seul, permet d’aller au-delà. Rendez-vous le 14 mars, « 3/14 » à l’anglo-saxonne, journée que les amateurs de mathématiques consacrent à pi, pour tester votre mémoire.