Théorème de Pythagore : explication, preuve en un dessin et usages

« Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. » La formule a été récitée par des générations d’élèves, souvent sans que personne leur montre pourquoi elle est vraie. C’est dommage, car la démonstration tient en un dessin, et le théorème sert chaque jour, du maçon qui vérifie un angle droit au calcul de la distance jusqu’à l’horizon. Voici ce qu’il dit exactement, comment s’en convaincre sans calcul, et pourquoi il porte le nom d’un homme qui ne l’a pas découvert.

Ce que dit le théorème, et ce qu’il ne dit pas

Prenez un triangle rectangle, c’est-à-dire qui possède un angle droit. Le côté opposé à cet angle, le plus long, s’appelle l’hypoténuse ; notons sa longueur c, et a et b celles des deux autres côtés. Le théorème affirme que a² + b² = c². Autrement dit, si l’on construit un carré sur chacun des trois côtés, l’aire du grand carré est exactement la somme des aires des deux petits. C’est ainsi qu’Euclide l’énonce, dans la proposition 47 du livre I de ses Éléments, que l’on peut lire dans l’édition commentée de l’université Clark.

L’exemple le plus célèbre est le triangle de côtés 3, 4 et 5 : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Mais le théorème vaut pour tous les triangles rectangles, quelles que soient leurs longueurs, entières ou non. En revanche, il ne vaut que pour eux : dans un triangle sans angle droit, la somme des carrés des deux petits côtés est plus grande ou plus petite que le carré du troisième. Euclide démontre aussi la réciproque, dans la proposition suivante : si a² + b² = c², l’angle opposé à c est forcément droit. C’est elle qui sert sur les chantiers.

Une démonstration en un seul dessin

Il existe de très nombreuses preuves de ce théorème. La plus parlante se fait avec quatre copies du même triangle rectangle et un grand carré de côté a + b.

Première disposition : placez les quatre triangles dans les coins du grand carré, l’hypoténuse tournée vers l’intérieur. Au centre, il reste un carré incliné dont le côté est l’hypoténuse : son aire vaut c². Seconde disposition : regroupez les triangles deux par deux pour former deux rectangles, rangés dans deux coins opposés. Il reste cette fois deux carrés vides, l’un de côté a, l’autre de côté b, d’aires a² et b².

Le grand carré n’a pas changé, les quatre triangles non plus : l’espace qu’ils laissent libre est donc le même dans les deux cas. D’où c² = a² + b². Découpez les pièces dans un carton, et vous tenez la démonstration entre vos mains.

Bien plus ancien que Pythagore

Rien ne prouve que Pythagore ait lui-même découvert ou démontré le théorème : ce sont Proclus et d’autres auteurs, des siècles après lui, qui l’associent à son nom, et ses disciples, les pythagoriciens, en connaissaient probablement l’énoncé. La relation était connue plus d’un millénaire auparavant. Une tablette d’argile babylonienne, Plimpton 322, conservée à l’université Columbia, donne quinze triplets de nombres entiers qui la vérifient, certains écrits avec jusqu’à huit positions dans la numération à base soixante des scribes. L’assyriologue Cécile Michel, qui en retrace l’histoire dans un billet du CNRS, rappelle qu’elle a été vendue en 1922 à George Arthur Plimpton et proviendrait de Larsa, dans le sud de la Mésopotamie. Les historiens la datent d’entre 1800 et 1650 environ avant notre ère.

Une autre tablette, conservée à Yale, montre un carré et ses diagonales, avec une valeur de la racine carrée de 2, la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1, d’après le théorème. Convertie en écriture décimale, elle donne 1,41421296, pour une valeur exacte de 1,41421356… Les mathématiciens grecs montreront plus tard que ce nombre ne s’écrit comme aucune fraction : il est irrationnel, comme le nombre pi.

Ce qu’il permet de calculer

Le théorème est une machine à calculer des distances. La diagonale d’un écran de 16 sur 9 ? La racine de 16² + 9², un peu plus de 18. La même idée, appliquée à un rectangle de côtés 1 et 2, fait apparaître la racine carrée de 5, d’où sort directement le nombre d’or, égal à (1 + √5) / 2.

Elle permet aussi d’estimer jusqu’où porte le regard. Votre œil, la ligne de visée tangente au sol et le centre de la Terre forment un triangle rectangle. Avec un rayon terrestre d’environ 6 370 kilomètres, celui qui découle d’un tour de 40 000 kilomètres, que l’on retrouve en retraçant qui a découvert que la Terre est ronde, et un œil à 1,70 mètre au-dessus de la mer, le calcul donne un horizon à moins de 5 kilomètres, réfraction de l’air mise à part.

Pour vérifier un angle droit sans équerre, prenez un mètre ruban : marquez 60 centimètres sur un côté, 80 sur l’autre, et mesurez entre les deux marques. Si vous lisez exactement 1 mètre, l’angle est droit ; sinon, il est trop ouvert ou trop fermé. L’erreur à éviter : appliquer la formule à un triangle dont vous ne savez pas qu’il est rectangle.