Le nombre d'or : définition, vrais exemples et idées reçues

Le nombre d’or a une réputation de star : on le dit caché dans les pyramides, le Parthénon, la Joconde et jusque dans les proportions idéales du visage. Derrière cette célébrité se trouve un objet mathématique réel et élégant, qui n’a besoin d’aucune mystique pour être intéressant. Voici ce qu’il est exactement, où on le rencontre pour de bon, et comment faire le tri entre les exemples solides et ceux qui relèvent de la légende.

Une définition qui tient en une phrase

Prenez un segment et coupez-le en deux morceaux inégaux. Il existe une façon de couper, et une seule, pour que le segment entier soit au grand morceau ce que le grand morceau est au petit. C’est la division « en extrême et moyenne raison », définie par Euclide dans le livre VI de ses Éléments, comme le rappelle l’histoire du nombre d’or de l’université de St Andrews. Le rapport obtenu est le nombre d’or, noté φ (phi) : il vaut (1 + √5) / 2, soit 1,6180339887…

Ce nombre a deux propriétés qui surprennent toujours. Son carré vaut φ + 1, soit 2,618…, et son inverse vaut φ – 1, soit 0,618… : mêmes décimales, une unité de moins. La première valeur décimale connue apparaît dans une lettre de 1597 de l’astronome Michael Mästlin à son ancien élève Kepler, qui donne « environ 0,6180340 » pour le grand morceau d’un segment de longueur 1.

Comme le nombre pi, φ est irrationnel : aucune fraction de deux entiers ne l’égale, et ses décimales se poursuivent sans jamais se répéter.

Où on le trouve vraiment

Le lieu naturel du nombre d’or, c’est le pentagone régulier. Tracez-en un, puis ses diagonales : chaque diagonale est φ fois plus longue que le côté, et les diagonales se coupent entre elles exactement selon la proportion d’or. Euclide s’en sert pour construire le pentagone, puis deux des cinq polyèdres réguliers, le dodécaèdre à faces pentagonales et l’icosaèdre. Ces constructions à la règle et au compas descendent en droite ligne de la géométrie grecque, celle-là même qui avait permis d’établir que la Terre est ronde et d’en mesurer le tour.

Deuxième apparition, le rectangle d’or, dont la longueur vaut φ fois la largeur. Retirez-en un carré construit sur la largeur : il reste un rectangle d’or plus petit, et ainsi de suite indéfiniment. La « spirale d’or » naît de ces carrés emboîtés.

Troisième apparition, la suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…), où chaque terme est la somme des deux précédents. Divisez un terme par le précédent : 13/8 = 1,625 ; 21/13 = 1,615… ; le quotient se rapproche de φ aussi près qu’on le veut. Kepler l’écrit dans une lettre de 1609, et une note manuscrite anonyme du début du XVIe siècle, écrite dans une édition des Éléments de 1509, le savait déjà.

D’où vient la légende

Le vocabulaire flatteur arrive tard. À la Renaissance, le moine mathématicien Luca Pacioli consacre un livre à la « divine proportion », en lui prêtant des attributs qui « conviennent à Dieu lui-même » ; son contenu mathématique, note St Andrews, n’apporte presque rien de neuf. L’expression « section d’or » n’apparaît qu’au XIXe siècle, vers 1835, dans une note d’un manuel du mathématicien allemand Martin Ohm.

C’est ensuite que le mythe s’emballe. Le philosophe Adolf Zeising, au XIXe siècle, puis le prince Matila Ghyka, au XXe, érigent le nombre d’or en loi universelle de la beauté, de l’anatomie à l’architecture. La lettre φ elle-même aurait été choisie en hommage au sculpteur Phidias, supposé l’avoir utilisée au Parthénon : la notation raconte déjà la légende qu’elle prétend illustrer.

Parthénon, Joconde, visage : ce que disent les mesures

Le problème de ces exemples tient à une question de méthode : où place-t-on les points que l’on mesure ? Sur une façade, un tableau ou un corps, on peut choisir des dizaines de repères, et parmi toutes les combinaisons, certaines tomberont forcément près de 1,6. En incluant ou non les marches du Parthénon, le fronton ou les colonnes d’angle, on obtient des rapports très différents.

En 1992, le mathématicien américain George Markowsky a passé ces affirmations en revue dans un article au titre explicite, « Misconceptions about the Golden Ratio » (idées fausses sur le nombre d’or), paru dans The College Mathematics Journal. En français, Marguerite Neveux et H. E. Huntley ont consacré à cette critique un livre entier, Nombre d’or, radiographie d’un mythe (Seuil, 1995). Leur leçon rejoint une règle simple de la méthode scientifique : une idée se juge à ce qu’elle prédit, pas aux exemples choisis après coup. Le tableau périodique des éléments a convaincu parce qu’il annonçait des éléments inconnus que l’on a ensuite trouvés ; le nombre d’or « esthétique » n’a jamais rien annoncé de tel.

Faites l’expérience vous-même. Mesurez dix rectangles autour de vous, écran, livre, fenêtre, carte, et calculez le rapport de leurs côtés : vous en trouverez sans doute un ou deux entre 1,55 et 1,65. Ce n’est pas un signe caché, c’est le hasard qui atteint une cible large. Tracez plutôt un pentagone régulier au compas et mesurez sa diagonale : là, le nombre d’or est au rendez-vous à chaque fois.