La suite de Fibonacci : des lapins de 1202 aux spirales du tournesol

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Cette liste de nombres est l’une des plus célèbres des mathématiques. On la voit citée à propos des coquillages, des tournesols, de la Bourse ou des peintres de la Renaissance, souvent avec plus d’enthousiasme que de rigueur. Son origine est pourtant très terre à terre : un petit problème d’arithmétique posé il y a plus de huit siècles, à propos de lapins. Voici comment se construit la suite de Fibonacci, pourquoi elle intéresse encore les mathématiciens, et comment faire le tri entre ses vraies apparitions dans la nature et les légendes.

Un marchand de Pise et un enclos à lapins

Leonardo de Pise, dit Fibonacci, « fils de Bonacci », naît vers 1170. Son père représente les marchands pisans à Bugia, l’actuelle Béjaïa, en Algérie, et c’est là que le jeune Leonardo apprend à compter avec les chiffres indiens, les « neuf symboles », que les savants arabes ont transmis. Selon la biographie de l’université de St Andrews, référence de l’histoire des mathématiques, il publie en 1202 le Liber abaci, qui fait connaître à l’Europe notre système de numération décimale de position. Une partie de cet héritage remontait aux savants grecs, ceux-là mêmes qui avaient découvert que la Terre est ronde, et que le monde arabe avait conservés et enrichis.

Au milieu des problèmes destinés aux marchands (conversions de monnaies, calculs de bénéfice), l’ouvrage en contient un qui fera sa postérité. Un homme place un couple de lapins dans un enclos fermé de murs. Chaque mois, chaque couple donne naissance à un nouveau couple, qui devient lui-même fertile à partir de son deuxième mois. Combien de couples au bout d’un an ?

Une règle d’une simplicité désarmante

Faites le compte mois après mois. Les couples présents le mois précédent sont toujours là ; s’y ajoutent les nouveau-nés, un par couple assez âgé pour se reproduire, c’est-à-dire autant qu’il y avait de couples deux mois plus tôt. D’où la règle : chaque nombre est la somme des deux précédents. 1 et 1 font 2, 1 et 2 font 3, 2 et 3 font 5, puis 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377. En partant d’un couple déjà fertile, comme dans le problème de Fibonacci, on trouve 377 couples au bout de douze mois.

Le modèle n’a rien de biologique, note le mathématicien Ron Knott, de l’université du Surrey, dans sa page consacrée à Fibonacci et à la nature : des lapins nés toujours par paires d’un mâle et d’une femelle, et accouplés entre frères et sœurs, ne ressemblent à aucun élevage réel. L’intérêt est dans la suite elle-même.

Car cette règle minuscule produit une foule de régularités. Un terme sur trois est pair (2, 8, 34, 144…). Additionnez les premiers termes et vous obtiendrez toujours un terme de la suite, moins 1 : 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12, soit 13 − 1. La suite croît de plus en plus vite, mais d’une façon très régulière : le rapport entre deux termes consécutifs se rapproche d’un nombre fixe, environ 1,618, que l’on appelle le nombre d’or. 13/8 donne 1,625, 21/13 donne 1,615, 55/34 donne 1,6176. Comme le nombre pi, ce nombre d’or est irrationnel : ses décimales ne s’arrêtent jamais et ne se répètent pas. C’est un sujet à part entière, que l’on retrouve ici seulement comme limite de la suite.

Au XIXe siècle, le Français Édouard Lucas étudie la suite en profondeur, au point qu’une suite voisine, construite selon la même règle mais en partant de 2 et 1, porte aujourd’hui son nom. Une revue scientifique, The Fibonacci Quarterly, est même consacrée à ces nombres.

Tournesols, pommes de pin et pétales : ce qui est vrai

Regardez le cœur d’un tournesol : les graines y dessinent deux familles de spirales, les unes tournant vers la gauche, les autres vers la droite. Comptez-les. Ron Knott en relève par exemple 34 dans un sens et 55 dans l’autre, deux termes voisins de la suite. Les pommes de pin et les ananas montrent le même motif. Côté pétales, il cite des renoncules à 5 pétales, des lis et des iris à 3, certains delphiniums à 8, des chrysanthèmes des moissons à 13, et des marguerites à 34, 55 ou même 89.

Ces spirales ne doivent rien au hasard ni à la magie : elles viennent de la façon dont une plante place chaque nouvel élément, graine ou écaille, en décalant son angle par rapport au précédent, de manière à occuper l’espace le plus régulièrement possible.

Mais la nature ne récite pas Fibonacci à tout coup. Le même Ron Knott le souligne : les fuchsias ont 4 pétales, et certaines plantes grasses affichent des nombres de spirales étrangers à la suite. Voir des nombres de Fibonacci partout est un piège : dans n’importe quelle liste, on finit par trouver 3, 5 ou 8. Chercher un motif dans des nombres puis vérifier s’il tient, c’est la démarche qui a permis à Mendeleïev de bâtir le tableau périodique des éléments ; elle suppose de compter aussi les cas qui ne collent pas.

Pour vérifier par vous-même, ramassez une pomme de pin bien ouverte à votre prochaine promenade, marquez une écaille au feutre et comptez les spirales dans chaque sens. Si vous tombez sur deux termes voisins de la suite, vous aurez vu Fibonacci à l’œuvre ; sinon, notez-le aussi, c’est tout aussi instructif.